T2K実験LOIでは、物質効果ありの場合の$\nu_\mu\rightarrow\nu_e$の三世代振動確率として
\(P(\nu_\mu\rightarrow\nu_e)= 4 C_{13}^2 S_{13}^2 S_{23}^2 \sin^2\Delta_{31}\)
　　　　　　　　　　\(+ 8 C_{13}^2 S_{12} S_{13} S_{23} (C_{12} C_{23}\cos\delta-S_{12} S_{13} S_{23}) \cos\Delta_{32}\sin\Delta_{31}\sin\Delta_{21}\)
　　　　　　　　　　\(-8 C_{13}^2 C_{12} C_{23} S_{12} S_{13} S_{23}\sin\delta \sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31}\sin\Delta_{21}\)
　　　　　　　　　　$+4 S_{12}^2C_{13}^2(C_{12}^2C_{23}^2+S_{12}^2S_{23}^2S_{13}^2-2C_{12}C_{23}S_{12}S_{23}\cos\delta)\sin^2\Delta_{21}$
　　　　　　　　　　$-8 C_{13}^2S_{13}^2S_{23}^2\frac{aL}{4E_\nu}(1-2S_{13}^2)\cos\Delta_{32}\sin\Delta_{31}$
　　　　　　　　　　$+8 C_{13}^2S_{13}^2S_{23}^2\frac{a}{\Delta m_{31}^2}(1-2S_{13}^2)\sin^2\Delta_{31}$
を使っている。ここで、$\Delta_{ij}\equiv\frac{\Delta m_{ij}^2L}{4E}$である。これは、B. Richter, (2000), , SLAC-PUB-8587, arXiv:hep-ph/0008222を元にしていて、確かにこのペーパーにはこの通り書かれている。 このRichterのペーパーは、この式の出典として

  I thank Jo˜ao Silva of Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, Portugal, for
showing me the exact expression in the absence of matter effect. The first order
matter effects come from J. Sato, hep-ph/0006127, 13 June 2000. In determining
the small parameters it may not be consistent to keep first order terms in the
matter effect while keeping all of the other terms. In working out examples I
have set the matter effect equal to zero. It will eventually have to be put in
consistently.

としていて、J.Satoのペーパーには少し違った形で振動確率が書かれている。

$P(\nu_\mu\rightarrow\nu_e)= 4 C_{13}^2 S_{13}^2 S_{23}^2 {1+\frac{a}{\Delta m_{31}^2}2(1-2S_{13}^2)} \sin^2\Delta_{31}$
　　　　　　　　　　$ +4 C_{13}^2S_{13}S_{23}{-\frac{a}{\Delta m_{31}^2}S_{13}S_{23}(1-2S_{13}^2)+\frac{\Delta m_{21}^2}{\Delta m_{31}^2}S_12(-S_{13}S_{23}S_{12}+C_{23}C_{12}\cos\delta )}\Delta_{31}\sin2\Delta_{31}$
　　　　　　　　　　$ -8C_{13}^2S_{13}C_{23}S_{23}C_{12}S_{12} \sin\delta \cdot\Delta_{21}\sin^2\Delta_{31}$

この式の導出は、J. Arafune, M. Koike and J. Sato, Phys. Rev. D56, 3093 (1997)でなされていて、物質効果の項$a$と、solar項$\Delta m_{12}^2$について、小さいとして1次の近似で導出している。

一方、T2Kよりも長い基線長の実験では、これでは不十分だとして２次の効果まで取り入れた式をよく用いている。

さて、B.Richterの式とJ.Satoの式が微妙に違うのが気になって、物質効果付きの三世代振動確率の導出を勉強してみることにする。 以下は、上記のJ.Sato et al., Phys. Rev. D56,3093(1997)による。

ニュートリノの質量は、非常に軽いので真空中でのHamilitonianは、 $$-U \pmatrix{ p_1 & 0 & 0 \\ 0 & p_2 & 0 \\ 0 & 0 & p_3 \\ } U\dagger \simeq -p_1 +\frac{1}{2E}U \pmatrix{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \Delta m_{21}^2 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta m_{31}^2 \\} U^\dagger$$ ここで、UはMNS行列である。
相対的な位相の変化だけが問題なので $$H_0 \equiv \frac{1}{2E}U\pmatrix{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \Delta m_{21}^2 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta m_{31}^2 \\} U^\dagger$$ とできる。
物質中では、電子ニュートリノ成分だけが、余分なポテンシャルを感じるので、 $$H = \frac{1}{2E}\left[U\pmatrix{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \Delta m_{21}^2 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta m_{31}^2 \\} U^\dagger + \pmatrix{ a & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\}\right]$$ となる。 空間時間発展方程式$i\frac{d\phi}{dx}=H\phi$の解は
\[ \phi(x)=S(x)\phi(0)\] \[ S(x)=\exp(-i\int_0^xdxH(s))\] で与えられる。 振動確率は \[P(\nu_\alpha\rightarrow\nu_\beta;L)=|S_{\beta\alpha}(L)|^2\] となる。

真空中では、 $$\begin{eqnarray} S_0(x) &= & e^{-iH_0x}\\ & = & \exp(-iUH_0U^\dagger)\\ & = & U\exp(-i\frac{x}{2E}\pmatrix{ 0 & 0 & 0\\ 0 & \Delta m_{21}^2 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta m_{31}^2 \\})U^\dagger 　　(注 : Uはユニタリー行列だから)\\ & = & U \pmatrix{ 1 & 0 & 0\\ 0 & \exp(-i\frac{\Delta m_{21}^2x}{2E}) & 0\\ 0 & 0 & \exp(-i\frac{\Delta m_{31}^2x}{2E}) \\ }U^\dagger \end{eqnarray}$$ これより $$S_0(x)_{\beta\alpha} = \delta_{\beta\alpha}+U_{\beta 2}U_{\alpha 2}^*[\exp(-i\frac{\Delta m_{21}^2x}{2E})-1]+U_{\beta 3}U_{\alpha 3}^*[\exp(-i\frac{\Delta m_{31}^2x}{2E})-1]　　　(注:またしてもユニタリティーを使っている)$$ と求められ、実際これをごりごりと説くと、三世代の振動確率が(近似なしで)求まり、Richterの式の$a=0$の場合と一致する。

真空中では、Hが質量に関して対角化されていたので、上記のように行列のexponentialが簡単に溶けるが、物質効果は、フレーバに対して作用するので、同じようには解けない。そこで、J.Sato et al.は、物質効果とsolar項($\Delta m_{21}^2$が小さいという条件で、摂動計算をしている。 $$\begin{eqnarray} H_0 = \frac{1}{2E}U\pmatrix{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \Delta m_{31}^2 \\} U^\dagger\\ H_1 = \frac{1}{2E}{U\pmatrix{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \Delta m_{21}^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\} U^\dagger + \pmatrix{ a & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\}} \end{eqnarray}$$ として、 $$\Omega(x)=e^{iH_0x}S(x)$$ と置くと$\Omega$は $$i\frac{d\Omega}{dx}=e^{iH_0x}H_1e^{-iH_0x}\Omega(x)$$ を満たす。したがって、$\Omega(x)$は1次近似で $$\Omega(x)=\exp(-i\int_0^xdse^{iH_0x}H_1e^{-iH_0x})\simeq 1-i\int_0^xdse^{iH_0x}H_1e^{-iH_0x}$$ と与えられる。よって $$\begin{eqnarray} S(x)\simeq e^{-iH_0x}+e^{-iH_0x}(-i)\int_0^x ds e^{iH_0x}H_1e^{-iH_0x}\\ \end{eqnarray}$$

あとは、もう本当にごりごり解いていくと、J.Satoの式にたどりつく。(途中、$a$と$\Delta m_{21}^2$の2次の項は落としていく。)詳しくはペーパーのappendixに書いてある。

さて、B.Richterの式であるが、彼は、真空中での振動は厳密な式を用い、物質効果に関しては、($a$および$\Delta m_{21}^2$について)１次の項までを取ったようである。 厳密には、上記のJ.Sato et al.の方法で、$H_0$を三世代に戻し、物質効果だけを摂動計算にすれば良いのであるが、途中までやって、あきらめた。B.Richterの式を確かめるには、J.Sato et al.の式で$a=0$の場合を三世代の厳密な場合に入れ替えて、そこに$a$の項を入れてやればよい。 ここまで勉強して、やっと彼が

The first ordermatter effects come from J. Sato, hep-ph/0006127, 13 June 2000. In determining
the small parameters it may not be consistent to keep first order terms in the
matter effect while keeping all of the other terms.

と書いた意味がわかった。 いずれにせよ、彼の式は、1st order近似では正しく、T2Kの基線長では十分であることを理解した。しかし、精度が上がってきた時や、長い基線長では2次の効果も考えることを忘れないこと。