素粒子物理学Iレポート　No.2（提出期限　5月7日）

合計配点8（注：厳密ではなく、成績の参考資料程度に使う。）

1. 電子ニュートリノ、ミューオンニュートリノは質量の異なるニュートリノn₁、n₂の混合状態として、

と表せる。の時間発展は　、

と表せる。時刻t=0で純粋にの状態のニュートリノがｔ秒後にが出現する確率を求めたい。

1.1　を、の状態で表せ。(配点１)

1.2　出現の確率が

---- (1)

と表せることを示せ。(配点１)

でとおいて

1.3　ニュートリノが光速で走るとして、上記の式でm₁(eV)、ct=L[km]、p=E[GeV]の単位系で式（１）を表現するとき

となる係数αを求めよ。（ヒント：上記はニュートリノ振動の基本的な式で、素粒子の教科書を探せば導出は載っているものもある。）(配点１)

自然単位系ではp=E、t=Lである。

は無次元の量で、単位を合わせるためには

よって

2. Dirac方程式においてψの4成分を別々にして、それぞれの成分ψ₁、ψ₂、ψ₃、ψ₄で４つの方程式をあらわに書き出せ。(配点１)

もしくは

3. γ行列の公式 、γ^0†＝γ⁰、(γ⁰)²＝I、γ^k†＝(ba^k)^†= a^kb=-γ^k、(γ^k)²＝-Iを示せ。またエルミート共役の結果はγ^m†＝γ⁰γ^mγ⁰を示せ。(配点１)

でb,a_iは全て反交換、b²=a_i²=1を使う。ここで、空間成分（i,j=1,3）と時間成分０を分けて計算すると

よって

よりγ^0†＝γ⁰、(γ⁰)²＝Iは自明。

γ^0†＝γ⁰、γ^k†＝-γ^kとγ⁰、γ^kの反交換関係よりγ^m†＝γ⁰γ^mγ⁰は自明。

4. 式(2.7)に続きψ₃、ψ₄を求めよ。ここでvは負エネルギー解よりE-mのEは負エネルギーで、正エネルギーE®-|E|と変換するとE-m=−（|E|＋ｍ）と表せる。(配点１)

5. 4成分ヘリシティ演算子がディラックハミルトニアンと交換することを示せ。よってヘリシティはエネルギーと独立な観測可能量であり系を記述するよい粒子数である。(配点１)

式(2.6)よりディラックハミルトニアンHは

、

ヘリシティ演算子は

6. が確率密度となることを示せ。(配点１)