物理:数学

差分

このページの2つのバージョン間の差分を表示します。

この比較画面にリンクする

--- 物理:数学 [2026/05/07 06:43]
kawaue
+++ 物理:数学 [2026/05/25 07:46] (現在)
kawaue
@@ 行 1: / 行 1: @@
-数学は物理学の婢女
+/*数学は物理学の婢女*/
 ====外積====
+/*テンソル積からイデアルを使ってウェッジ積を定義する？https://hooktail.sub.jp/differentialforms/ExteriorProds/*/
 ベクトルに対する様々な計算規則が「外積」と呼ばれる。
-一般に、テンソル積(tensor product)は
+一般に、テンソル積(tensor product)は普遍性を満たすベクトルとベクトルの演算である。https://manabitimes.jp/math/1845
+\begin{align}
+a\otimes b
+\end{align}
 楔積(wedge product)もしくは外積(exterior product)は、反対称なテンソル積で
+\begin{align}
+a\wedge b
+\end{align}
+の記号で表される。
+外積(outer product)は基底を用いたテンソル積の表示で
+\begin{align}
+(a\otimes b)_{ij} = a_ib_j
+\end{align}
+である。
+ちなみに、クロス積(cross product)もしくはベクトル積(vector product)は3次元ベクトルにおいて
-外積(outer product)は3次元ベクトルにおいて
+\begin{align}
+(a\times b)_i = \sum_{jk}\epsilon_{ijk}a_jb_k
+\end{align}
 ====微分形式====
@@ 行 19: / 行 33: @@
 ====無限・公理====
+$\mathbb{N}$の濃度を$\aleph_0$と呼ぶ。$\aleph_n+1$は$\aleph_n$より大きな最小の濃度である。
+/*アレフ数の構成？すべての可算順序数からなる集合の濃度？*/
+ベート数$\beth_n$は以下で定義される。
+\begin{align}
+\beth_0 = \aleph_0\\
+\beth_{n+1} = 2^{\beth_{n}}
+\end{align}
+冪集合への全射は存在しない（Cantorの定理）ので、$\beth_{n+1}$は$\beth_n$よりも大きな濃度になる。連続体濃度$|\mathbb{R}|$は$\beth_1=2^{\aleph_0}$に等しい。
+連続体仮説とは、
+\begin{align}
+\beth_1 = \aleph_1
+\end{align}
+つまり、$\mathbb{N}$と$\mathbb{R}$の中間の濃度は存在しないという主張である。これはZFCと独立な命題である。
+一方で、例えば
+\begin{align}
+\beth_1 = \aleph_2
+\end{align}
+を認めることは、$\aleph_0$より大きく、$2^{\aleph_0}$より小さい基数$\aleph_1$の存在を意味する(巨大基数)。
+このように$\beth_n = \aleph_m$を公理として巨大基数の存在を認めることで、証明可能な命題が増える(らしい)。矛盾$0=1$を公理として認めると全ての命題が証明できるので、矛盾を最大の基数と見做すことができる(らしい)。
+Zermelo-Fraenkel(ZF)公理系
+選択公理(Axiom of Choice;AC)

物理/数学.1778136226.txt.gz · 最終更新: 2026/05/07 06:43 by kawaue